前々回の演習（「行列式」）で，下のような定理（定理（７））を紹介しました．
今回は，この定理を使って行列式を次数が１つ低い行列式の和で表す方法を説明します．
下の例を見てください．
先々週の定理（３）より，３×３の行列式をつぎのように書くことができます．
右辺の後ろの２つの行列式を，定理（７）の形にするために，行の入れ換えを行います．このときに，第１行に持って行く行以外の行の順序を変えないことにします．すると，下のような入れ換えを行うことになります．
入れ換え後の式は，定理（４）を用いると次のようになります．
これに定理（７）を用いると，次のように第１列に関する行列式の展開が得られます．
右辺の，元の行列式から行１つ列１つが取り除かれて次数が一つ下がった各行列式を小行列式（左からD11, D21, D31と書く），それに符号をつけたものを余因子（左からA11, A21, A31と書く）といいます．
これを一般的に表すと，行列式｜A｜の第j列に関する展開は
となります．各余因子における(-1)の指数は，「その余因子がもとの行列式のi行j列を取り除いてできているとき，指数はi+j」となります．
この例のように，行列式の操作によって「０」の要素をつくり，それを含む行（列）で展開すると計算が楽になります．
