基礎数学演習Ｉ　微分学（５）
２変数関数の極値

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２変数関数の極値

関数の極値とは，簡単に言えば「まわりのどの点での値よりも大きい（小さい）値をとる点での値」です．１変数関数の場合は「微分が０」の点（狭義にはさらに２回微分が０でない点）が極値をとる点ですが，２変数の場合はもうすこし複雑です．

まず，つぎのことは言えます．

z = f(x, y) が(a,b)で極値をとるとき，f_x(a,b) = f_y(a,b) = 0．

しかし，「f_x(a,b) = f_y(a,b) = 0」のとき必ず(a,b)で極値をとるわけではありません．いくつか例を見てみましょう．

この例では，たしかに(0, 0)で極値をとっています．

しかし，

この場合，f_x(0, 0) = f_y(0, 0) = 0ですが，極値ではありません．f_xx(0, 0)，すなわちx方献慧の接瀬慧の傾きの(0, 0)での変化率と，f_yy(0, 0)，すなわちy方献慧の接瀬慧の傾きの(0, 0)での変化率の符号が逆のため，このようなことがおこります．このような点を鞍点(saddle point)といいます．

ところが，さらに次のような場合もあります．

f_xx(0, 0)とf_yy(0, 0)は異符号ではありませんが，やはり(0,0)は鞍点になっています．この場合，zが作る面が(0,0)でねじれています．

C²級（２階連続微分可能）関数z = f(x, y)において，f_x(a,b) = f_y(a,b) = 0とする．このとき，

について，

(1) 「f_xx(a, b) > 0 かつ |H| > 0」（これを「Hが正定値である」という）ならば，zは(a,b)で極小値をとる．

(2) 「f_xx(a, b) < 0 かつ |H| > 0」（これを「Hが負定値である」という）ならば，zは(a,b)で極大値をとる．

(3) |H| < 0 ならば，zは(a,b)で極値をとらない．

（ |H| = 0 のときは，(a,b)で極値をとるかどうかはこの定理からは言えません）
（上のHを「ヘッセ行列」といいます）

また，次の「シュワルツの定理」も重要です．

f(x,y)がC²級ならば，f_xy(x,y) = f_yx(x,y)である．