先々週の演習で行ったように，行列の基本変形は連立方程式を解く作業に対応する操作です．先々週と同じ次の方程式をもう一度考えます．
この方程式は，
のように行列A，ベクトルx, bを定めると，Ax=bで表されます．このとき，Aとbをくっつけた下のような行列を定義します．
この行列を拡大係数行列といい，(A|b)で表します．先々週の演習で行ったように，拡大係数行列に基本変形を施すことで，連立方程式を解くことができます．この方程式の場合，(A|b)の基本変形を行うと
となるので，解はx=3, y=1, z=2となります．このように解が１組に定まるとき，nを未知数の数とすると，rankA = rank(A|b) = nになっています．
別の例として
の場合はどうでしょうか．この場合，(A|b)は
で，これに基本変形を施すと
となります．これは
を意味しており，その解は，cを任意定数とするとき，x=(1-c)/2，y=c，z=1という「不定解」になります．このとき，rankA = rank(A|b) < nになっています．
また，
の場合は，(A|b)は
で，これに基本変形を施すと
となります．これは
を意味しており，３行目を見てわかるように，この方程式は「不能」です．このとき，rankA < rank(A|b) になっています．
このような，行列の基本変形を用いた連立一次方程式の解法を「掃き出し法」と呼びます．
