(1)平面での曲線と，その接線について考えてみましょう．xy平面上のすべての平面曲線を表すには，x, yをそれぞれパラメータtの関数で表す「パラメータ表示」で考える必要がありますが，ここでは簡単のためy=f(x)と表される場合のみ考えます．
曲線上のある点(x0, y0)での関数f(x)の微分係数は
(1)
と表されます．ここで，点(x, y)を(x0, y0)に近い曲線状の点と考えると，dyとはyの微少な変化すなわち(y-y0)，dxとはxの微少な変化すなわち(x-x0)です．これを上の式に代入すると
(2)
となります．さて，xやyの「微少な」変化とは，どのくらい微少ならよいのでしょうか？それは，式(1)のように，「xの変化に対するyの変化の割合が定数」である程度微少であることです．これは「yの変化とxの変化が１次の関係であらわされている」ことを意味しています．そこで，(2)の関係を(x0, y0)に近くない(x, y)に延長すると，それらの(x,y)は「(x0, y0)を通り，傾きがf'(x0)の直線」，すなわち(x0, y0)での曲線y=f(x)の接線になります．
ところで，y=f(x)のかわりにF(x,y)=0で曲線を表した場合を考えてみましょう．このような表し方を陰関数表示と言います．F(x, y)=0をxで微分すると，
(3)
となり，(∂x/∂x) = 1，(∂y/∂x) = f'(x) ですから
，すなわち
(4)
となります（これを陰関数定理といいます）．これを式(2)に代入すると
，すなわち
(5)
が得られます．
上と同様に，今度は３次元空間での曲面とその説明面について考えてみましょう．こちらでも簡単のために，xyz空間での曲面がz=f(x,y)で表される場合だけについて考えます．
「偏微分と全微分」（６月４日）の時に説明したように，z=f(x,y)の全微分は
(6)
で表されます．この式は，zの微少な変化dzと，xの微少な変化dxおよびyの微少な変化dyの関係を表しています．さて，ここでいう「微少な」変化とは，どのくらい微少な変化なのでしょうか？それは，zの変化が，xの変化の定数倍とyの変化の定数倍の和で表せるくらい，すなわちzの変化とxの変化・yの変化が１次の関係にあるぐらい微少な変化であることを意味しています．
さて，曲線と接線の場合と同様に，曲面上の点(x0, y0, z0)と，そこに近い点(x, y, z)を考えると，dz=z-z0，dx=x-x0，dy=y-y0ですから，点(x0, y0, z0)での全微分を考えると
(7)
が得られます．これを(x0, y0, z0)に近くない(x, y, z)にも延長すると，これは「『点(x0, y0, z0)におけるzの変化に対するxの変化・yの変化の割合』を傾きとして持ち，点(x0, y0, z0)を通る平面」すなわち点(x0, y0, z0)での接平面を表します．
z=f(x,y)を陰関数F(x,y,z)=0で表した場合も，曲線と接線の場合と同様に考えます．F(x,y,z)=0をxで微分すると
となり，(∂x/∂x) = 1，(∂y/∂x) = 0（∵xとyは独立な変数），(∂z/∂x) = fx(x,y) ですから
，すなわち
(8)
が得られます．同様にF(x,y,z)=0をyで微分することで，
(9)
が得られます．式(8),(9)を式(7)に代入すると
，すなわち
が得られます．
